Էվկլիդես | Սկզբունքներ | համառոտ

Էվկլիդեսի գլխավոր աշխատությունը՝ «Սկզբունքները» (Ք. ա. 300 թ.) նվիրված է երկրաչափության համակարգված կառուցմանը: Համարվում է անտիկ մաթեմատիկայի գագաթը և այդ գիտության նախորդ երեքդարյա զարգացման արդյունքը:

«Սկզբունքներում» շարադրվում են՝ հարթաչափությունը, տարածաչափությունը և թվաբանությունը: Աշխատությունը բաղկացած է 13 գրքերից: Ավանդաբար դրանց է կցվում նաև 2 գիրք կանոնավոր բազմանիստների մասին, որոնք վերագրվում են Հիփսիկլես Ալեքսանդրացուն:

«Սկզբունքները» շարադրված են դեդուկտիվ եղանակով: Յուրաքանչյուր գիրք սկսվում է սահմանումներից: Առաջին գրքում սահմանումներին հետևում են աքսիոմներն ու պոստուլատները: Այնուհետև շարադրվում են դրույթները, որոնք բաժանվում են խնդիրների և թեորեմների: Սահմանումները, աքսիոմները, պոստուլատները և դրույթները համարակալված են:

Առաջին գիրքը սկսվում է սահմանումներից, որոնցից առաջին յոթն ասում են. 1. Կետն այն է, ինչը չունի մասեր: 2. Գիծը երկարություն է, որը չունի լայնություն: 3. Գծի ծայրերը կետերն են: 4. Ուղիղ է այն գիծը, որը հավասարաչափ ծածկում է իր բոլոր կետերը: 5. Մակերեսի ծայրերը գծեր են: 6. Հարթ մակերեսն այն մեկն է, որը հավասարաչափ ծածկում է իր բոլոր գծերը:

Սահմանումներից հետո Էվկլիդեսը ներկայացնում է 5 պոստուլատները: 1. Յուրաքանչյուր կետից դեպի յուրաքանչյուր ուրիշ կետ կարելի է տանել ուղիղ: 2. Ուղիղը կարելի է անվերջ շարունակել: 3. Ամեն կենտրոնից, ցանկացած շառավղով կարելի է գծել շրջան: 4. Բոլոր ուղիղները հավասար են իրար: 5. Եթե երկու ուղիղները հատող ուղիղը կազմում է ներքին հավասարակողմ անկյուններ, որոնք փոքր են երկու ուղիղներից, ապա անվերջ շարունակվելու դեպքում երկու ուղիղները կհատվեն այն կողմում, որտեղ անկյունները փոքր են երկու ուղիղներից: Բոլորից շատ Էվկլիդեսի աքսիոմատիկայում հայտնի է հենց այս վերջին պոստուլատը: Արդեն անտիկ շրջանում փորձում էին ապացուցել այն: Նոր ժամանակաշրջանում ապացույցների փորձերը ծնունդ տվեցին ոչ էվկլիդյան երկրաչափություններին: Հարկ է նշել, որ առաջին գրքի առաջին 28 թեորեմները վերաբերում են բացարձակ երկրաչափությանը, այսինքն՝ չեն հիմնվում հինգերորդ պոստուլատի վրա:

Պոստուլատներին հետևում են աքսիոմները: Սրանք ընդհանուր բնույթի պնդումներ են: 1. Միևնույն բանին հավասար երկուսը հավասար են նաև իրար: 2. Եվ եթե հավասարներին գումարվում են հավասարները, ապա ամբողջները նույնպես կլինեն հավասար: 3. Եթե հավասարներից հանում են հավասարներ, ապա մնացորդները նույնպես հավասար կլինեն: 4.Եթե ոչ հավասարներին գումարվում են հավասարներ, ամբողջները չեն լինի հավասար: 5. Միևնույնի կրկնապատիկները հավասար են իրար: 6. Միևնույնի կեսերը հավասար են իրար: 7. Համատեղվողները նույնպես հավասար են իրար: 8. Ամբողջը մեծ է իր մասից: 9. Երկու ուղիղները չեն ամփոփում տարածություն:

Աքսիոմներին հետևում են երեք թեորեմներ, որոնց հաջորդում է եռանկյունիների հավասարության և անհավասարության տարբեր դեպքերի քննությունը: Առաջին գրքի ավարտին ներկայացվում է Պյութագորասի թեորեմը:

Երկրորդ գիրքը ներկայացնում է այսպես կոչված «երկրաչափական հանրահաշիվը», շարադրվում են բազմանկյունը հավասարամեծ քառակուսի դարձնելու մեթոդները: Երրորդ գիրքը շրջանագծերի մասին է: Չորրորդը նվիրված է ներգծյալ և արտագծյալ բազմանկյուններին: Հինգերորդ, յոթերորդ, ութերորդ, իններորդ և տասներորդ գրքերում բերվում է համեմատականությունների երկրաչափական շարադրանքը: Վեցերորդը նվիրված է նմանություններին, իսկ վերջին երեք գրքերը՝ տարածաչափությանը։

Իր գրքում Էվկլիդեսը չի նշում ուրիշ հույն մաթեմատիկոսների, թեպետ, իհարկե, հիմնվում է նրանց արդյունքների վրա: Հայտնի է, որ ռացիոնալիստ փիլիսոփա Բենեդիկտ Սպինոզան իր հռչակավոր «Էթիկայում» կիրառել է Էվկլիդեսի «Սկզբունքների» դեդուկտիվ շարադրանքը:

Տես նաև Արքիմեդ, Պարմենիդես և Հերակլիտոս