﻿Թալեսի թեորեմ

Թեորեմը կրում է հին հույն փիլիսոփա և բնագետ Թալես Միլեթացու անունը:

Եթե երկու ուղիղներից մեկի վրա հաջորդաբար տեղադրվեն մի քանի հավասար հատվածներ և նրանց ծայրակետերով տարվեն երկրորդ ուղիղը հատող զուգահեռ ուղիղներ, ապա դրանք երկրորդ ուղղի վրա անջատում են միմյանց հավասար հատվածներ։

Կամ՝

Եթե անկյան կողմերը հատող զուգահեռ ուղիղները անկյան մի կողմի վրա անջատում են հավասար հատվածներ, ապա նրանք անկյան մյուս կողմի վրա ևս անջատում են հավասար հատվածներ:

Ապացույց

Դիցուք a ուղղի վրա տեղադրված են A_1A_2 և A_2A_3 հավասար հատվածները և նրանց ծայրակետերով տարված են զուգահեռ ուղիղներ, որոնք b ուղիղը հատում են B_1 , B_2 և B_3 կետերում, պահանջվում է ապացուցել, որ B_1B_2 և B_2B_3 հատվածները հավասար են։

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ a և b ուղիղները զուգահեռ են։ Այս դեպքում կստացվի, որ A_1A_2B_2B_1 և A_2A_3B_3B_2 քառանկյունները զուգահեռագծեր են, հետևաբար A_1A_2=B_1B_2 և A_2A_3=B_2B_3 և, քանի որ ըստ պայմանի A_1A_2=A_2A_3, հետևաբար B_1B_2=B_2B_3։ Դիտարկենք այն դեպքը, երբ a և b ուղիղները զուգահեռ չեն։ Դիտարկենք A_1A_3B_3B_1 սեղանը։ Քանի որ ըստ պայմանի A_2B_2 հատվածը զուգահեռ է սեղանի հիմքերին և A_1A_2=A_2A_3, հետևում է, որ A_2B_2 -ը հանդիսանում է սեղանի միջին գիծ։ Ինչից էլ հետևում է, որ B_1B_2=B_2B_3։